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De donde se concluye que los puntos F y F' (figura 39), que tienen 

 por coordenadas x=^±l é y=0, pueden considerarse á la vez como 

 focos smgidares y ordinarios de la misma curva. 



110. Por medio de la expresión de R, renglones antes obtenida (Nú- 

 mero 114), determínase fácilmente la condición para qne la curva tenga 

 ■puntos de inflexión reales, así como so determinan también las coordena- 

 das de estos puntos. Buscando, en efecto, los valores de p que correspon- 

 den á los de R == co, hállase que los pimtos reales de inflexión de la curva 

 son los de intersección de ésta con la circunferencia definida por la ecuación 



^2 ^ y o _ p2 _ Y 1 ^4^2 ¿2 _ ;i) 



siempre que se verifique la condición de ser / < 2c, y que al mismo tiem- 

 po corte la circunferencia á la curva de que se trata. Condición esta última 

 que se determina eliminando ^'-' entre las ecuaciones de ambas curvas con- 

 sideradas (Núms. 1 12 y 1 16), y expresando luego que el valor de :r-, que 

 satisface á la resultante, es positivo. De donde se desprende que ha de ser 



V 



^{iPc^ — l'^]-{-P>2lc, 6 



(l — 2c)(l — c)<0, 



6, simultáneamente, Z < 2c y l^ c: como en el caso segundo de los con- 

 siderados en el Núm. 113, y también en el de la lemniscata. 



117. La rectificación de las curvas de Cassini se obtiene por inter- 

 medio de las integrales elípticas de primera especie, conforme mostró Ser- 

 ret en el Journal de Liouville, t. viii, p. 145, y en su Cours de Calcnl 

 Dif. et Integral, t. ii, 1880, p. 260: de donde procede el análisis á conti- 

 nuación empleado para hallar las fórmulas de resolución de tan interesan- 

 te problema. 



Sea, en primer lugar, Z > 2c; en cuyo caso la curva se compone de dos 

 óvalos iguales. Considerando uno de estos óvalos, tracemos por el origen 

 de las coordenadas dos rectas que le corten; y sean 0^, y 6j los ángulos que 

 estas rectas forman con el eje de las abscisas. Entre ambas rectas quedan 



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