— 114 — 



comprendidos dos arcos del óvalo considerado, cuyas longitudes, s y Sj, 

 vamos á determinar. 



Poniendo en la ecuación polar de la curva 2c ^ I sen 2a, hallaremos que 



p2 = p [cos29 ± V^cos2 29 — cos^ 2a ]. 



De donde se deduce que 



dp p sen 2 O 



d^ \/cos-20 — cos2 2a ' 



, , dp2 „ 1— eos- 2a 4c2p'^ 



o- -I í— = p2 = . T 



dP cos2 29 — cos-2a /2(cos2 29 — cos2 23i) 



Las longitudes de los arcos considerados se hallan, pues, determinadas 

 por las expresiones siguientes: 



Vcos20 + \/cos^ 29 — eos- 2a 



eos- ¿ J. 



^^ 2c I 



-'e^ V/cos--2 29 



„ r'' Veos 2 9 — V/ cos'^29 — cos2 2a 



Si=2c / = 



«^eo Vcos2 29— cos"^2a 



rf9, y 



■ m. 



De las cuales, por adición y substracción ordenadas de ambos miembros 

 y llevando en cuenta la identidad 



[Vco829 +\/cos^29 — cos2 2a ±Vcos29— V/cos"-^ 2 9 — cos'^ 2 a ] 

 = 2 (cos29±cos2a), 



se desprenden, por de pronto, estos resultados: 



d9 



s + s, 



s — Sj ^ 2e 



o/g V eos 29 — eos 2 a 





V eos 2 9 -f- eos 2 a 



