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para que tres puntos de inflexión correspondan á la línea recta conside- 

 rada: 



A^^ — aa^; c = — 2AB—aa^^; 



Dos de estas ecuaciones servirán para determinar los valores, ^ y 5, de 

 los parámetros de la línea recta; y los otros dos para decidir si los tres 

 puntos de inflexión se hallan ó no sobre esta recta, conforme aquellos 

 valores concuerden 6 no con los de los mismos parámetros que de ellas se 

 deduzcan. 



Pues bien: si de la primera ecuación se toma el valor de ^, y el de i? 

 de la cuarta, y ambos se sustituyen en la segunda, hállase este resultado: 



que igualmente se obtendría poniendo en la tercera los valores áe AB y 

 de B", procedentes de la segunda y de la cuarta. Y basta advertir que 

 este resultado coincide con el que se deduce de la (7), poniendo en ella x 

 por «j, para concluir que los tres puntos de inflexión, determinados por a^, 

 ag y «4, se encuentran situados sobre la misma línea recta. 



La demostración precedente no es aplicable á las rectas paralelas al eje 

 de las ordenadas. Pero basta advertir que cualquiera de estas rectas, sobre 

 la cual existan dos puntos de inflexión, corta á la curva en un punto situa- 

 do en lo infinito, y que este punto lo es de inflexión también, para concluir 

 que asimismo se halla comprendida dentro del enunciado y condiciones 

 del teorema á que la demostración expuesta se refiere. 



Del cual teorema se desprende además que la cúbica considerada sola- 

 mente posee dos puntos de inflexión reales á distancia finita. 



Porque, en efecto: si poseyese cuatro puntos de este nombre, podríanse 

 por ellos trazar cuatro rectas distintas, no paralelas al eje de las ordena- 

 das, que cortarían á la curva en cuatro puntos reales, de inflexión tam- 

 bién, en virtud del teorema anterior. Luego todos los puntos de inflexión 

 de la curva serían reales: conclusión absurda, porque, poniendo en la 

 ecuación (7) x ^^ y y .r = co, sucesivamente, hállanse resultados de signos 



