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 cón sólo poner en ella xz^ por .T^,éyx^ por ij^: encontrándose entonces 

 precisamente la de partida (1). 



Luego á cada punto (A", YJ de una cúbica cualquiera corresponde otro 

 punto (x, y) de alguna de las cdbicas comprendidas en la ecuación (1), 

 hallándose ligadas las coordenadas de ambas curvas por las relaciones (3), 

 que definen la irans formación homográfica de una curva en otra, confor- 

 me nos propusimos demostrar. 



De este género de transformación trató profundamente Chasles en su 

 importante producción matemática, titulada Mémoire de Gcométrie sur 

 detu- principes géncraux de la science: la dualitc et I' homographic: en la 

 cual aquel tan ilustre geómetra enseña que la transformada homográfica 

 de cualquier curva representa una perspectiva de la misma curva. Propo- 

 sición que al final de este libro demostraremos, para completar así, con lo 

 ya en este párrafo expuesto, la demostración del teorema de Newton, 

 renglones antes enunciado. 



í)7. La ecuación (1) puede simplificarse desde luego, ó reducirse á la 

 forma 



(4) í/2 = ax^ -\- ex -\- d, 



con solamente trasladar el origen de las coordenadas al punto ( ,0 ). 



\ Za ) 



Para ver cuál es la forma de las curvas contenidas en esta ecuación, ha- 

 bremos de considerar diferentes casos, comenzando por advertir que el eje 

 de las abscisas es siempre un eje de simetría de la curva de que se trata; y 

 para fijar las ideas, supondremos también siempre que a > 0. 



Caso 1.° — Admitamos que las tres raíces a, p y y de la ecuación 



ax^ -\- ex -\- d = 



sean reales y desiguales, y que a ;> (3 > y. 



La curva corta en este caso al eje de las abscisas en los puntos A, B 

 y C , cuyas abscisas son iguales á '>'■, p y y. Y entonces las ordenadas se- 

 rán reales y crecerán indefinidamente con x , cuando sea x >■ a; imagi- 

 narias, por el contrario, cuando ,r esté comprendida entre a y p; reales y 

 finitas, cuando x se halle comprendido entre p y y; ^ imaginarias de 



