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ce, por su intersección con aquel sólido, una lemniscata elíptica dada. Y, 

 por medio de estas otras , 



R=l — c. l = — \/a^-^b\ y e=—, 



se resuelve la misma cuestión, cuando se trata de la lemniscata hiperbólica. 



En el primero de estos casos el toro será cerrado, y en el segundo 

 abierto; siendo en ambos tangente al toro el plano secante. 



122. Las lemniscatas pueden obtenerse también buscando las curvas 

 que satisfacen á la condición. (Booth, /. c.) 



(1) o^p,^ = e'>±rrh 



en la cual p, pj y r representan las distancias de cualquiera de sus puntos 

 á otros tres puntos fijos, F, F' y O, colocados en la misma recta, á igual 

 distancia, e, del O el i^ que el F'; y f una constante dada (fig. 39). 



Por ser, tomando el punto O como origen de las coordenadas, y la rec- 

 ta FF' como eje de las abscisas, 



p2 __ ^2 _j_ (^ — e)2, ^ ^ =^ y^ -\- {x -\- eY y r''- ^ x'- -\- xf' , 



la ecuación cartesiana de las curvas consideradas será ésta: 



(a;^ + %ff = (/2 + 2 e2) x^ ^ ({"- — 2e^) y"-. 



Ecuación que representa una lemniscata elíptica, cuyos parámetros son 



a2 = /-2_2e2 y b^ = p + 2e^, 



cuando f^> 2e^; y, si P <2e2, una lemniscata hiperbólica, con estos 

 otros parámetros: 



62 = /-2_^2e2 y a2 = 2e2— /^2_ 



Previas estas nociones generales, estudiaremos ahora separadamente 

 cada una de las lemniscatas mencionadas. 

 123. Lemniscata elíptica. — La ecuación 



(«2 -)- ^2j2 ^ Qj2 ^2 _^ ¿2 jfi 



