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de las cuárticas bicirculares, determinando los focos de las cartesianas, y 

 demostrando que tres de estos focos se hallan en línea recta. 



Poniendo A = A' la ecuación (5) podrá escribirse de este modo: 



(a;2 + f — 2Af = 4.{2Cx + 2C' y + A^ + D). 



Ecuación de la forma 



según la cual, la curva á que se refiere es la envolvente de las circunfe- 

 rencias representadas por esta otra: 



4¿2_2F¿+ Z7=0, 



cuyos centros están sobre la recta definida por la ecuación G'x = Gy: con- 

 forme puede verse hallando las coordenadas de estos centros, y eliminan- 

 do luego la t entre las ecuaciones que las determinan. 



Poniendo ahora -it- —2Vt+ U= B-[(x — x^)'^ + {ij — yg)'^], para 

 determinar x^,, y^, B- y t, dispondremos de estas ecuaciones: 



. B-^ = -2t, C=-B-^x„ C'^-B^y„ y 



é{r^i-At) + A^ + D= E^ (x^ -\-y,^) : 



de las cuales se concluye que ha de ser 



8 (<» + Af^) -\- 2 {A^ + D)t -\- (C2 + (7'2) = 0. 



Por medio de esta ecuación determínanse los valores de ¿; y los de íCq, 

 ?/q y B^ con auxilio de las tres anteriores. Con lo cual queda probado que 

 existen tres valores de t que reducen á simples puntos las circunferencias 

 consideradas, y, por lo tanto, que existen tres focos sobre la recta que 

 acaba de mencionarse. 



Añadiremos, para concluir, que en este caso la ecuación (9) se reduce 

 á la siguiente: 



(/í2 + D) (h + A) - C-2 — C"2= 0. 



