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Luego, si por un punto (a, ¡3) trazamos tangentes á la lemniscata consi- 

 derada, los valores de %■ en los puntos de contacto deben satisfacer á la 

 ecuación 



(1) (P + a)^,6 + 3 ((3 — a)x" + 4a*3 — 3 (p + a)z^ _ (^ _ a) = 0; 



y las seis raíces de esta ecuación, ó los seis valores de x, prueban que, 

 por el punto dado, pueden trazarse seis tangentes á la curva, reales 6 ima- 

 ginarias. 



Esto sabido, busquemos ahora la condición para que cuatro de los pun- 

 tos de contacto se encuentren en línea recta. 



La definida por esta ecuación 



ux-\-vy-{-l = (i 



corta á la curva en cuatro puntos, á los cuales corresponden los valores 

 de X dados por esta otra 



(2) x* -I- a(M — v)k^ + a{u -f í;)x -j- 1 = 0. 



Expresando, pues, que el resto de la división del polinomio (1) por el 

 polinomio (2) es idénticamente nulo, hallaremos las condiciones para que 

 las ecuaciones (1) y (2) tengan cuatro raíces comunes, y, por lo tanto, 

 para que cuatro de los puntos de contacto estén en línea recta. 



Pero el resto de que se trata, tiene por expresión 



\ • — a (m -|- v) — 3 a (u — v) — a^ (u — vf I x^ 



+ r* ^-^ + a^ (M - vrl { (¡i + a). 



Luego, para que las raíces de la ecuación (2) lo sean también de la (1), 

 será menester que se verifiquen estas condiciones : 



