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Las últimas fórmulas sirvieron de punto de partida á G. Pittarelli 

 para el estudio, bastante minucioso, que hizo del caracol, en su memoria 

 sobre Li iumache di Pascal, publicada en el Giornale di Matematiche 

 (Napoli, t. XXI, 1883, ^J. 145 y p. 173). Pero aquí nos limitaremos á ob- 

 tener, por medio de las mismas, la ecuación tangencial de la curva. 



Partiendo de la expresión 



dy /¿ eos 9 -|- a eos 2 9 



dx /? sen 9 -|- a sen 2 9 



la ecuación de la tangente al caracol será 



(Acos9 + acos29) Jí + (/ísen9 +asen29) 7= (fe + a cos9)2; 



ó, sustituyendo sen9 y cos9 por sus valores en función de t, esta otra: 



[/í + a — <oat^ — {h — a) ¿''] .Y + 2 [h + 2a + (fe — 2a) t'^] t Y 

 = [fe + a + (fe — «)í2]2. 



Por medio de la cual se puede obtener la ecuación tangencial de la cur- 

 va considerada. Comparándola, en efecto, con la ecuación 



2iX-\-vY-\-\ = 0, 

 resulta 



fe + a — 6a<2 _ (^ _ a) ^4 h + 2a-\-{h — 2a) t^ ^ 

 u^ y v = — ¿ t. 



(fe + a + (fe — a) <2)2 (h^a-\-ih — a) fif 



Bastando ahora eliminar t entre estas ecuaciones para obtener la ecuación 

 buscada, que, según Pittarelli (1. c, y. 155), es como sigue: 



(«2 — ¿2)3 (^^2 _|. ^2)2 4- í: (m2 + í;2) _^ L = 0; 



en la cual designan abreviadamente K y L\o que á continuación se indica: 

 K=2(h^ — a2)2 ¿2 u2 __ 2 (fe2 _ «2, ^ (4^2 _j_ 5^2) ^ 

 + 8 (fe2 — a2)2 — 36 fe2 (fe2 _ «2) + 27 fe*, y ~ 

 L = (au-\- 2)3 [a (h^ — a^) u — 2^2]. 



