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Si el punto generador de la curva es exterior á la circunferencia móvil, 

 obtiénese el caracol de punto doble (fig. 45); si interior, el cat'acol de punto 

 aislado (fig. 46); y la cardiode (fig. 47), cuando corresponda á la misma cir- 

 cunferencia. El caracol pertenece, pues, al grupo de las curvas denomi- 

 nadas epicicloides , de las cuales trataremos más adelante, y entonces se 

 demostrará la exactitud de la interesante proposición que acaba de enun- 

 ciarse. 



160. La longitud de los arcos del caracol depende, cuando /?, ^ a, de 

 una integral elíptica de segunda especie. Pues, en efecto, 



.XV.=+(fy— €V' 



^ha , 1 „ , 



(a + hf 



Ó, poniendo — 9 = tp. 



s =^2 [a -\- h) \ \ / 1 sen^ ts . d'.o. 



X V ia + hf ' ■ 



16 í . De la fórmula precedente pueden deducirse, por referencia á los 

 arcos del caracol, teoremas análogos á los demostrados en la teoría de las 

 integrales elípticas, por referencia á los de la elipse. Como ejemplo, fije- 

 mos la atención en el teorema llamado de Fagnano. 



En el supuesto de ser 



k^= ^^"' é I Vi— /.■2sen^=í</'f = ^(A;, «), 



enséñanos la teoría de las integrales elípticas que 



k'^ sen '-f eos (f k- sen G 



rt/i \ 1 T-t/7 iN T-./7 '^A /i"^sena cose 

 E (k, cp) + E {k, •!^)-El k, - = . ^ 



\ 2/ \/l_/,--^sen2 



Y/Í_/,--^sen2=p \l , .,1 



' 2 1/ 1 — «''sen-— 'J 



¥ 



2 



cuando entre tp y ^ existe además la relación siguiente: 

 coste cosi]> = sentp senA \1 — k^ . 



