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El) la fig." 46 señalemos dos puntos del caracol, m y m' , cuyas amplitu- 

 des satisfagan á la igualdad anterior, y tendremos 



are Am = 2 (a + A) ¿7 (/.: , cp) ; are ^/w' = 2 (a + A) ÍJ [k ,\); y 



are AB=2{a-\- h) EUc, —Y 



Por otra parte, representando por V el ángulo que forma el radio vector 

 del punto m con la tangente á la curva en el mismo punto, resulta que 



í¿f) acosO + h 



tangF=p-— = -— ; 



cíp «sentí 



y, por lo tanto, 



«sen 8 



CCS V = ■ 



V- 



(a + h) \l 1— Fsen^ — 9 



Con lo cual una de las igualdades anteriores se transforma inmediata- 

 mente en la que sigue: 



E{k, cp) + E(k, .{.) -EÍk, ^\ = ^l^±J^cosV. 

 \ 2 / 2a 



Ó, finalmente: 



are ^ /« -|- are ^/»' — are ^j5 ^ are Am — are Bm' 



= — ¡^ — ■ — — eos F= 4/icos V. 

 a 



Para construir, pues, la diferencia de longitudes de los arcos Am y 

 Bm' , basta tomar sobre el radio vector del punto m, una longitud igual á 

 4 A, y proyectarla sobre la tangente á la curva en el mismo punto. 



162. El área A, recorrida por el radio vector del caracol, cuando H 

 varía desde O hasta S, se halla expresada por la fórmula 



^ = J- /;í2 _^ i- ciA e + — «a seu2() + ah sen9. 

 2 \ ¿ f 8 



