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que tiene por centro el punto j a, O |, y cuyo radio es igual á — a. De 



todo lo cual resulta demostrado el teorema siguiente: 



Las tres tangentes á la cardioide, trazadas p o?' cualquier punto de la cir- 

 cunferencia, de centro j «, O j «/ radio igual á — a, tocan á la curva 



en tres puntos, reales ó imaginarios, situados en línea recta. 



El cuarto punto de intersección de la recta que pasa por los puntos de 

 contacto de las tres tangentes que acabamos de considerar, se halla defi- 



nido por la ecuación Q= O 6 í = 3 — . 



165. Representando por t^, t^j t¡ los valores de i en los tres puntos 

 de contacto de las tangentes á la cardioide, trazadas por el punto (a, ¡3), 

 de la ecuación (1) se desprende que 



(2) t, + t., + t^=—3^; t,t.^ + t,t^ + tj^=-i; y t,t.,t^=^ ' "'~''- 



Por ser t = tang — fi, la condición para que las bisectrices de los án- 

 gulos formados con el eje polar por los vectores de los puntos de contac- 

 to, correspondientes á dos de estas tangentes, sean perpendiculares una á 

 otra, es ^, ¿g == — 1. Y en este caso 



2a — a , o « + « 



3 p ) / 1 I „ p 



Sustituyendo ahora en la segunda de las ecuaciones (2) ¿j ^g; t^ -\- t,/, y íg 

 por estos valores, resulta 



Luego los puntos del plano de la cardioide, tales que dos de las tangen- 

 tes á la curva, trazadas por cada uno de ellos, la toquen en otros puntos, 

 correspondientes á una recta que pase por el origen, se hallarán también 

 situados sobre una circunferencia, de centro definido por las coordenadas 



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— a y O , y í/e radio igual á — a. 



