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160. Para rectificar la cardioide no es menester, como tratándose de 

 los demás caracoles, emplear las integrales elípticas. Así resulta de la ex- 

 presión integral siguiente: 



.<••== 2» I V/l — sen'¿ — e í/t) = 4« sen — 6. 



De la cual se deduce que la longitud total de la curva es igual á 8 a. 



La rectificación de la cardioide fué por primera vez obtenida por La 

 HiRE, conforme consta en las Méinoires de l'Académie de París, 1708. 



III 



LOS ÓVALOS DE DESCARTES 



167. Sean r y / las distancias de un punto variable, M, á dos puntos 

 fijos, O y O', llamados focos (fig. 48); y, representando por h y k dos can- 

 tidades constantes, supongamos que 



(1) 



r zb hr' • 



M 



/ 



•B 



O" N O' 



Fignra 48. 



El lugar geométrico descrito por M, con- 

 forme r y / varían, de magnitud, constitu- 

 ye una de las curvas denominadas Óvalos de 

 Descartes, en memoria del ilustre geómetra 

 de este nombre, que las descubrió y definió 

 al tratar de resolver el problema de óptica 



que tiene por objeto determinar la forma de la superficie de separación de 

 dos medios transparentes, distintos en densidad, necesaria para que los 

 rayos emitidos por un punto luminoso en el primero sean transmitidos, 

 por refracción, á otro punto fijo en el segundo. Problema resuelto en su 

 Dióptricu por Descartes, y más tarde, en el concepto geométrico, minu- 

 ciosamente estudiado por el mismo autor en el libro ii de su célebre Geo- 

 metría, publicada en 1637. 



En el mismo asunto que Descartes, y á propósito del mencionado pro- 



