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las ordenadas, representadas por aquella misma ecnación, dispuesta, para 

 mayor claridad, en esta forma: 



gi jji — A:^ ± 2 kr — (1 — U^) f^ d^ ii" + r^ k^ — {r=f. kf 



Y, según que el valor absoluto del segundo miembro sea mayor, igual ó 

 menor, que r, así esta ecuación representará rectas exteriores á la circun- 

 ferencia, 6 tangentes á ella, ó secantes de la misma en dos distintos pun- 

 tos (puntos de los óvalos), simétricos con respecto al eje de las abscisas. 



Notemos además que, en razón del doble signo de k, á cada valor de r 

 corresponden dos distintos valores de x, 6 dos pares de puntos de los óva- 

 los, situado cada cual en distinta recta. Pero si á /• le atribuímos un nuevo 

 valor, i\ , puede suceder que alguno de los dos valores de x así obtenidos 

 coincida con alguno de los que antes se obtuvieron: como sucede cuando 

 se verifica que 



r2 /í¿ — (r — kf = rj2 h^ — (r^ + kf. 



En cuyo caso, por el punto cuya abscisa es x pasará una recta, paralela 

 al eje de las ordenadas y secante á los óvalos en cuatro distintos puntos: 

 número máximo de intersecciones de una recta con una curva de cuarto 

 grado. Siendo menester, para esto, que 



2k 



r — r, = . 



^ l — fi^ 



De manera que los radios de las dos circunferencias que producen cuatro 

 puntos de la curva, situados en la misma recta, paralela al eje de las or- 

 detmdas, han de tener una diferencia constante. 



169. Antes de pasar más adelante, conviene advertir que el caracol 

 de Pascal se halla comprendido, como caso particular, entre los óvalos de 

 Descartes. Si, en efecto, en la ecuación (3) de estos óvalos se supone que 

 /i;2 = a^ h^^ obtiénese la ecuación del caracol. Y no solamente en este caso 

 coinciden con el caracol aquellos óvalos. Porque si la (1) se escribe en 

 esta forma: 



r'±~r=±-, ó r'±h,r = ±lc,, 

 h h ' ' 



