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suponiendo para ello que Ti, = — y /;:, = —, fácilmente se ve que aque- 



h h 



Ha ecuación (1) representará un caracol cuando sea Aj^ = a- h^, ó k= a. 

 170. Veamos ahora si la curva representada por la ecuación (3) admi- 

 te otro foco, O", colocado, como los O y O', sobre el eje de las abscisas. 

 Para esto es necesario, y basta, que exista un sistema de valores de /.:,, 

 ftj = 00", y h^, tal que la ecuación 



(1 — h^^) f^ + 2a, h^' X + k;^ — a;^ h,^ = ± 2k^ r 



coincida con la (2), ó que /.-,, a, y /«, satisfagan á las ecuaciones condicio- 

 nales siguientes: 



aW _ a,h,^ k^—a^W ^ k^^-a,^h{\ _A_=_A_ 



Eliminando en la segunda de estas ecuaciones ]i^ y a, por medio de la 

 primera y tercera, obtiénese esta otra: 



F ft,* — («2 + k"^) h'^ h;^ + «2 ft4 = O : 

 de la cual se deducen para h^ los valores 



%, = ±%, y h = ±^. 



Los primeros valores de h^ así obtenidos producen estos otros : k ^=k^ 

 y a = «i, y no conducen á resultado ninguno nuevo. Pero de los segun- 

 dos se concluye que 



a, = y /c, ^ it . 



1 (l_fti)a -^ ]c(l — h^) 



Y, en consecuencia, representando por r" la distancia MO", los óvalos de 

 Descartes, que tienen por ecuación 



, ah ,, , T{^ — a~hr 



a.') r ± r" = ± , 



^ k (1-mk 



