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puntos distintos, bien entendido, excepto en el caso de ser fc^^l, <5 

 A;^ = a-, ó k^ = (Ph", de las cuales debe ahora prescindirse, porque aque- 

 lla curva es entonces una cónica, ó un caracol de Pascal, ya estudiado an- 

 teriormente. 



2° Busquemos, en segundo lugar, los puntos múltiplos de la curva 

 considerada. 



Y para ello, determinemos los valores de x é y, que satisfacen á la 

 ecuación (3) y á las siguientes, derivadas suyas con respecto á las mismas 

 coordenadas x é y: 



[(I — h^) (o,--' + y') + 2a}fix + U^ — a^ h^¡ [(1 —h^) x + ah'^] = 2h^ x, y 

 [(1 •- K^) (x^ + */■-') + 2ali^ X + /•■■•^ — a^ f/-] (1 — h^) y = 2 1:^ y. 



La última ecuación admite dos soluciones: 



y=0, y (l-/^¿)(^-2 + ^^)+2aA^x + A'í-a^/í^ = - 



Pero esta segunda solución no es compatible con la primera de las an- 

 teriores, y no conduce, por consiguiente, á punto singular alguno. Y á la 

 solución y =^0 corresponden puntos colocados sobre el eje de las absci- 

 sas, distintos todos unos de otros, salvo, como ya se advirtió, cuando la 

 ecuación (3) corresponde al caracol de Pascal. 



La curva de que ahora tratamos no posee, según esto, puntos múltiplos 

 á distancia finita. Pero sí dos puntos de retroceso imayinarios en lo infinito. 



Para verlo basta investigar sus asíntotas. Si con este objeto supone- 

 mos primeramente que y = xx, y, á continuación, x = ce, ha'Ilase que 

 limí. = ±i.Y si después escribimos y^± ix -j-it y x ^ ce, deducire- 

 mos la ecuación 



[± 2 / (1 — A2) limu + 2a/i^]- = O, 



que determina lim?í; y por ser dobles sus raíces infiérese, en conclusión, 

 que cada una de las ecuaciones 



, . r , «¿2 -I 



representa dos asíntotas, una con otra coincidentes. 



