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Y poniendo en ella x^ = O, obtiénense los valores de las ordenadas de 

 aquellos puntos en que la curva corta al nuevo eje de las ordenadas, 

 dados por la expresión 



_ ± Jch ± Sja^ h^ + l'-^ — a^ 



"' W^i • 



De la última fórmula se deduce que cuando Ji^^- 1, tj^ es real; y de 

 la (4) que y será real cuando sea li^ << 1. Luego una, por lo menos, de las 

 perpendiculares al eje de los óvalos, que pasan por los focos O y O', corta 

 á la curva en cuatro puntos reales. 



172. De todo lo cual se concluye que la curva á que nos referimos 

 consta de dos distintas ramas, que, en vez de cortarse — salvo el caso del 

 caracol de Pascal, de que ahora prescindimos — se encuentran una dentro 

 de otra. La interior, cerrada y convexa, ó sin ningún punto de inflexión, 

 posee un eje de simetría, AB, que puede suponerse coincidente con el de 

 las abscisas, y en cuyos extremos, A y B, son las tangentes á la curva 

 perpendiculares al mismo eje; y otros dos puntos, My N, de ordenada má- 

 xi)na en absoluto. Y la exterior, de la misma forma general, ó de la indi- 

 cada en la fig. 46, poseerá en este caso cuatro puntos: los A y i?, en los 

 extremos del eje horizontal, y los P y Q, simétricamente colocados con 

 respecto á este eje, donde las tangentes á la curva son perpendiculares al 

 mismo eje; y otros dos puntos también, M y N, de ordenada máxima, 

 como en el caso primero. 



173. Las normales á los óvalos de Descartes pueden obtenerse por 

 un método general conocido, aplicable á todas las curvas referidas á coor- 

 denadas bipolares. 



En el caso de los óvalos á que co- 

 rresponden los signos superiores de la 

 ecuación (1), tomando los segmentos de 

 recta MA = 1, y MB = h, figura 49, 

 la normal á la curva en el punto M será 

 la diagonal del paralelógramo cons- 

 truido sobre aquellos segmentos. 



Para demostrarlo basta advertir que la ecuación de la normal á uno 

 cualquiera de aquellos óvalos, en el punto [x, y), es 



