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x — x _ y— .y 



dr , , dr' dr , , dr' 



dx dx dy d;/ 



6, por ser 



dr X dr' x — a 

 = — := costo; := = costo ; 



dx r dx r 



dr 11 dr' y 

 =-<- = sen(o; y =^í-^sen(jj, 



dy r dy r 



representando por w y w' los ángulos MOx y MO'x, 



X—x _ Y— y 



cosw 



-\- h cosü)' seno) -)- h senw' 



Y basta ahora advertir que las coordenadas x^ é y^ del punto C se ha- 

 llan expresadas por las fórmulas 



£c^ = ¿c — (costo + h costo' I é y^^ y — (seno) + h sentó'), 



y que estas coordenadas satisfacen á la última ecuación, para concluir que 

 la normal coincide con la diagonal MC del paralelógramo referido. 



Y á la misma conclusión se llega, tratándose de un óvalo correspon- 

 ' diente á la ecuación r — hr =±k, cuidando de tomar el segmento MB 



en dirección opuesta á MO'. 



De la propiedad que acaba de demostrarse, infiérese inmediatamente 

 esta interesante consecuencia: que los óvalos de Descartes resuelven el 

 problema de Óptica, anteriormente mencionado; porque los rayos lumino- 

 sos OM que parten del foco O do un óvalo de Descartes, interpuesto en- 

 tre dos medios transparentes de diferente densidad, y cuyo índice de re- 

 fracción es k, se refractan, cuando llegan á la curva, segdn rectas MO', 

 que se cortan en otro foco O'. Para persuadirse de lo cual basta advertir 

 que la igualdad 



senOMA^ senOMN 



seaO'MN sen ACM 



= h. 



