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Tracemos por el punto P la recta móvil PR, y desde R la RS, paralela 

 á la OL y á la PLy Y, á contar de los puntos R y S, señálense, sobre 

 la línea que determinen, los M y M' y los m y m', de manera que sean 

 RM= RM' y Sm = Sm , y los cuatro segmentos así determinados igua- 

 les á la cuerda PR. 



Pues el problema aludido consiste en hallar el lugar geométrico descrito, 

 en combinación, por los puntos M, M', m y m , cuando PR varía de 

 situación, girando alrededor del punto fijo P. Lugar ó curva buscada que 

 resulta ser un trifolium, cuya ecuación, en coordenadas polares, coincide 

 con la (1): considerando para ello como polo el punto P y como eje la recta 

 PQ, y designando por w el ángulo LOQ=L^PO y por 9 el ángulo MPO, 

 correspondiente al radio vector p, igual á PM. 



Del exameu y condiciones de la figura se deduce, en efecto, que 



RPM= RMP = MPLy = MPO —L^PO = ^ — ^; 



i2PZi = 2J/Pij = 2f9 — oj); y 



PR = 2acosRPO = 2a eos {RPL^ -|- m) = 2a eos (29 — w). 



Y como p = PM=2PR eos (9 — w), resulta, en conclusión, que 



p = 4a eos (9 — (i))cos (29 — to); ó 

 (2) p = 4acos9'cos(29' + w), 



si el ángulo 9', que reemplaza al 9, se refiere al eje PLy 



De cualquiera de las ecuaciones ( 1 ) ó ( 2 ) puede deducirse la ecuación 

 de la curva en coordenadas cartesianas, adoptando, si de la (2), la recta 

 PLj para eje de las abscisas. Y así se obtiene la siguiente: 



(íc^ -f í/^)^ = 4aa; (x^ — ¡f) cosw — 8ax^ y seno). 



Del sistema de generación del trifolium que se acaba de exponer dedujo 

 Beocaed esta notable propiedad de la curva: 



Cada una de Ins tangentes á la circunferencia PQR, paralelas á la 

 recta OL , toca al trifolium en dos puntos equidistantes del de contacto 

 con la misma circunferencia. 



