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Fácil es ver también que, ea el supuesto de existir los dos óvalos 

 anteriormente considerados, la curva solamente poseerá cuatro puntos, 

 M y N, M' y N' , donde las ordenadas serán máximas 6 mínimas; y que» 

 si los óvalos no existen, no habrá en la curva punto alguno donde las or- 

 denadas satisfagan á semejante condición. 



Fijémonos, en comprobación de lo dicho, en los siguientes polinomios 

 de Sturm, correspondientes á la ecuación (6): 



'^^ 2 '^^ 9 '' 2 4 V 4/í3 j A 



Para que existan los dos óvalos anteriormente considerados, es menes- 

 ter que sea 4/i^> 21k^; y entonces los polinomios de que se trata, po- 

 niendo en ellos sucesivamente pj = O y pj = — h , adquieren los siguien- 

 tes signos: 



Luego entre Pi ^ O y pj = — h existen dos valores reales de pj que 

 satisfacen á la ecuación (6), y que dan para p valores positivos y para x 

 valores reales. Pero como el número de los puntos máximos y mínimos en 

 cada medio óvalo BMC debe ser evidentemente impar, solamente los va- 

 lores de y, correspondientes á uno de estos valores de p^, serán reales; y 

 precisamente á estos valores corresponden los puntos M, N, M', N', don- 

 de las ordenadas son máximas en valor absoluto. 



Consideremos ahora las ramas infinitas de la curva. 



Para lo cual aplicaremos el teoreyna de Sturm á la ecuación (6'), bus- 

 cando el número de raíces de esta ecuación comprendidas entre h é ao. 

 Ó como las raíces de la ecuación (6') difieren solamente por el signo de las 

 raíces de la (6), nos limitaremos á buscar el número de raíces de esta ecua- 

 ción, comprendidas entre — h y — oo. Recurriendo, como anteriormente, 

 al teorema mencionado, hállanse los resultados siguientes: 



Pi = — 0° — + — + 



Pi = -/' - + - +. 



