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La ecuación que acabamos de obtener es de cuarto grado, excepto 

 cuando (1 + ''^ — Z»^^)^ = ifi^> ^ 1 ± /¿ dz ¿ = 0: en cuyo caso se reduce 

 al tercero, y representa una cúbica circular (Núm. 42). 



181. Veamos ahora si existe otra ecuación de la forma (2): 



1(1 + /.,2 - k;^) {cc^ + ¡ñ - 2 [ah;^ - «j k;^) íc + 2p, k;^ ¡j + h^^ a' 

 - (a;2 + p;^) A^2] = 4/^,2 (^2 ^ ,^0) ^^^o ^ ^., _j_ ^^, ._ .,^_^^^ 



que represente la misma curva á que la anterior se refiere. 

 Para esto deben verificarse las expresiones siguientes: 



2(a,AV-«V) , „ = _lMll_. 



i + V-A-r ' i+h^-k-^' 



^_ Va2-_(a¿+P3^_ ^___2A^__ 



o 



(3) 





de las cuales, eliminando primeramente a^ y ¡3^ entre las tres primeras, y 

 después Á'j- por medio de la última, resulta esta otra: 



^ia^ + ap + l)k^+{Pl±^^-ajk,+^=0. 



Ecuación de la cual se desprenden dos valores para k^: uno, el mismo //, 

 que nada nuevo nos dice; y otro, que, sustituido en las ecuaciones anterio- 

 res, producirá un sistema de valores reales para k^, a^ y p^, á los cuales 

 corresponde una nueva ecuación de la forma (2), representante de la mis- 

 ma curva. 



Luego, si una curva satisface á una ecuación de la forma (1), existe un 

 cuarto punto tal que la misma curva satisface también á otra ecuación de 

 igual forma, pero con distintos coeficientes: 



r±h^r' ± k^r" = 0, 



