— 176 — 



Si las raíces de estsi ecuación son desiguales, la curva teudní dos pun- 

 tos en lo infinito y cuatro asíntotas: luego estos puntos serán dobles. Y si 

 las raíces son iguales, dos de las cuatro asíntotas coincidirán con las otras 

 dos, y los puntos serán de retroceso. Condición que se verifica cuando 



{n qi mif + .4^ — €\ ±B,i=0, 

 ó 



n^ — ?«2 j^A^—C, = y 2 m n = — B, . 



Fácil es ver que estas ecuaciones quedan satisfechas cuando la (4) se 

 reduce á la de los óralos de Descartes, y, por consiguiente, que las curvas 

 de este nombre tienen dos puntos de retroceso en lo infinito, como ya an- 

 teriormente vimos. 



A las ciidrticas hicircidares , con dos puntos de retroceso en lo infinito, 

 aplícase el calificativo especial de cartesianas: hallándose, en consecuen- 

 cia, comprendidos, como caso particular, en este grupo de curvas los men- 

 cionados óvalos del mismo nombre. 



185. Para continuar el estudio en el párrafo anterior iniciado, vamos 

 á precisar las condiciones para que el círculo que tiene por ecuación 



sea bitangente á las curvas de que tratamos: asunto interesante que se re- 

 suelve por el siguiente método, propuesto por Darboux (1. c, p. 114 de 

 la edición de 1873). 



Redúzcase primeramente la ecuación (4), por traslación del origen de 



las coordenadas al punto (——, "— )' 7 P»^' "^^ cambio de dirección 



de los ejes, en virtud del cual desaparezca el término que contiene el pro- 

 ducto xy, á la forma 



(5) («2 + ,^2)2 - 4 {Ax^ + A' iF + 2 Cx + 2 C y + D) = 0. 



Para expresar que la curva correspondiente á esta ecuación y al cír- 

 culo se cortan, habremos de considerar estas otras dos ecuaciones: 



(6) p-^—[Ax^^A'y^ + 2Cx-^2C'y + D) = <^, y .r^- + ^--^— 2P=0; 

 la primera de las cuales representa una cónica. 



