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resulta que la curva propuesta poseerá n — 2 tangentes de coeficiente an- 

 gular /, y otras tantas de coeficiente — i. 



Sentado esto, si la cuártica (5) tiene dos nodos en lo infinito, por la fór- 

 mula de Plücker, consignada en el Ni'im. 48 . será de 8." clase, y el nú- 

 mero de sus tangentes, de coeficiente angular i, ascenderá, en consecuen- 

 cia, á 6; (5 solamente á 4, si los puntos de contacto con la curva han de 

 hallarse á distancia finita, en razón de que dos de aquellas ,se?'s tangentes 

 coinciden con las asíntotas. 



Del propio modo, ó por los mismos pasos, se concluirá que el número 

 de tangentes, de coeficiente angular — i, es también igual á 4. Y como los 

 dos grupos de tangentes consideradas se cortan en 16 puntos, otros tantos 

 serán, por definición, los focos ordinarios de la curva á que el razona- 

 miento se refiere. 



Si la cuártica de que se trata posee dos puntos de retroceso en lo infi- 

 nito, será de 6." clase, y sus tangentes, de coeficiente angular i 6 — i, as- 

 cenderán á 4 en cada caso, d solamente á 3, prescindiendo de la que tam- 

 bién es asíntota á la curva: de manera que los puntos de intersección de 

 ambos grupos de tangentes, ó focos ordinarios, se reduce entonces á 9. 



Con todo lo cual queda demostrado el siguiente teorema: 



Las cuárticas bicirculares poseen diex y seis focos ordinarios, y entre 

 ellos cuatro reales, cuando los puntos en lo infinito sean dobles; y nueve 

 focos ordinario^ , de los cuales son reales tres, en el caso de las cartesianas 

 (Lagüerre, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de París, 1865, 

 p. 70.) 



Todos estos focos deben estar en las cónicas, representadas por la ecua- 

 ción (7), como centros de círculos bitangentes de radio nulo. 



De análogo modo: si (a, h) representa un foco, debe existir un valor de a 

 y otro de ¡3 tales que sean 



A + h A -\-h 



= [x-af + {!l-bf. 



Y, por consiguiente, 



'j. = a; P = c', y a- -\- h~ = 2h ■ — . 



A-^h A' + h 



