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366. La longitud del arco de la tractriz, comprendido entre los pun- 

 tos (,Tq, y^, (íCj, ?/,), tiene por expresión sencillísima la que sigue: 



-rv 



1 A dii = c log — . 



dy^ yo 



367. Y el área de la superficie de revolución engendrada por la trac- 

 triz al girar en derredor del eje de las abscisas, esta otra, no menos nota- 

 ble por su sencillez: 



■=.,£.y> 



fí=2. I j\/l+i£<¡« = 2««. 



La superficie de revolución, á que corresponde el área determinada por 

 la última fórmula, se denomina pseudo- esfera, y fué cuidadosamente estu- 

 diada por Beltrami, quien demostró su importancia en la interpretación 

 de la Geometría de Lobatchevsky, según puede verse en el Giornale di 

 Matematiche, Napoli, t. vi, 1868. 



368. La tractriz hállase comprendida en el grupo de curvas especial- 

 mente considerado por el geómetra español Sr. Duran Loriga (Intermé- 

 diaire des Mathématieiens , t. iv, p. 148), que individualmente satisfacen 

 á la condición de ser constante el perímetro del triángulo formado por la 

 tangente á una cualquiera de tales curvas; por la ordenada en el punto de 

 contacto; y por el eje de las abscisas, cualquiera que sea el ángulo, 9, de 

 este eje con el de las ordenadas. 



Representando, en efecto, por x é y las coordenadas del punto de con- 

 tacto, y por Xq la abscisa del punto en que la tangente corta al eje de su 

 nombre, las longitudes de los lados del triángulo serán 



\y^ + (a-Q — x)^ — 2?/ (a^o — ^) cosS, y, y x^ — x: 



igual la última á — y . 



dy 



Y la constancia del perímetro resultará expresada, en consecuencia, por 



esta ecuación: 



y^ (77)'+ ^' ir^) ^«^^ + (y' - ^') = o- 



