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Para lograr esto último, designemos por a y 6 los semiejes de la elipse 

 fundamental, á la cual corresponden las ecuaciones 



x = a eos cp é ,v == 6 sen o , 



designando por 'f un ángulo auxiliar, en función del cual la ecuación del 

 diámetro de la elipse, que pasa por el punto arbitrario (x, y), tiene por ex- 

 presión 



Y == Jí — tang», 



y la ecuación de la perpendicular en aquel punto al diámetro considerado 

 esta otra: 



b Y sen <f -\- aX eos 'f — b'^ sen^ ce — a^ cos'^ f = 0. 



De la cual se deduce, por su derivación con respecto á tp, la que sigue: 



¿Fcostf — aX senes -|- 2 (a^ — b'^) sencp coso = 0. 



Y, eliminando entre ambas ecuaciones la variable », se hallará la que á la 

 envolvente buscada, ó ourva de Talbot, corresponde. 



Para el estudio de esta curva no es, sin embargo, menester efectuar la 

 eliminación indicada. Porque de las dos últimas ecuaciones se desprenden 

 desde luego estas otras : 



(1) Jí = -^í— í^ («2 -)- c^ sen2 tf ) é r=-— ^(a^ — 2c-i + c2sen2!f), 



en las cuales c'^ ^ a^ — b^, adecuadas para la determinación de las coor- 

 denadas de los puntos de la envolvente en función del parámetro », ó para 

 realizar con suma sencillez aquel estudio. 



309. Comencemos, en efecto, por precisar la forma de la curva. 



De cuya definición y procedencia resulta desde luego que es simétrica 

 por referencia á los ejes coordenados, y tangente á la elipse en los extre- 

 mos de ambos ejes de esta curva. Y también que el ángulo de sus tangen- 

 tes con el eje de las abscisas variará siempre en el mismo sentido: lo cual 

 excluye el supuesto de que la envolvente de que se trata pueda poseer pun- 

 tos de inflexión reales. 



