- 298 — 



denominada, como es ya bien sabido (N6m. 27 Q) , paralela á la propuesta, 

 6 en primer término considerada. Y, modificando el valor de I- , dedícen- 

 se series de curvas, paralelas todas á la fundamental, á las cuales co- 

 rresponde la misma evoluta de ésta, y cada una de las cuales es además 

 envolvente de los círculos de radio ív, y centro situado sobre la curva 

 primitiva. 



31.5. Recordadas estas nociones generales, fijemos la atención espe- 

 cialmente en las curvas paralelas á la elipse, estudiadas no há mucho 

 tiempo por Bretón de Champ en un artículo, á ellas concerniente, pu- 

 blicado en los Nonvelles Aúnales de Mathématiques (1884, t. III), y de- 

 nominadas por él toroides, en razón de coincidir con las curvas que limi- 

 tan las áreas obtenidas por la proyección de un toro sobre un plano obli- 

 cuo al plano de su ecuador. Como fácilmente puede verse, advirtiendo que 

 la superficie del toiv es la envolvente de las esferas, de radio constante, 

 k, y cuyos centros se hallan situados sobre una circunferencia dada: cir- 

 cunferencia que se proyecta en figura de elipse sobre el mismo plano de 

 proyección, en el cual las esferas que el toro envuelve se hallan represen- 

 tadas por círculos también, de radio k y centro sobre la elipse, tangentes á 

 las curvas que limitan la proyección del toro, y envolventes éstas á su vez 

 de los mismos círculos. 



316. La forma de las curvas paralelas á la elipse es fácil de obtener, 

 partiendo de su definición, resumida en la igualdad Ií.^p±k: en la 

 cual p representa el radio de curvatura de la elipse; B el de la curva pa- 

 ralela, considerada en cualquier caso particular; y k la distancia de las dos 

 curvas. 



De la igualdad á que nos referimos se deduce: que las curvas jjaralelas 

 de la elipse no pueden poseer puntos de inflexión, puesto que el valor de 

 R ha de ser finito siempre, ó en todos los puntos de la curva; y que las 

 correspondientes á la igualdad particular R= ^ -\- k, tampoco pueden po- 

 seer puntos de retroceso reales; pero sí las que corresponden á esta otra, 

 E = p — /,-.• las cuales poseerán cuatro puntos reales de aquel nombre, 

 cuando el valor de k se encuentre comprendido entre los valores extremos 

 del radio de curvatura de la elipse considerada, por cuanto entonces exis- 

 tirán cuatro puntos, situados sobre la evoluta, donde será E = 0. Las pa- 

 ralelas á la elipse serán, pues, de forma ovalado • convexa , 6 de la forma 



