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 de donde se deducen las ecuaciones 



„2 j,2 " ¿2 ,,2 fj2 ^2 r|2 „2 



(9 + a2)2 ^ (9 + ¿2)2 (fj + «2)2 (8 + ¿2)2 



Y, eliminando entre ellas la 9, obtiénese la ecuación cartesiana de las cur- 

 vas, ó de las envolventes buscadas. 



La eliminación fué hecha por Catalán (Nouvelles Annales des Mathé- 

 maiiques, 1844, t. III, pág. 553), y el resultado á que llegó se halla re- 

 presentado por una ecuación de octavo grado, que en este lugar nos dis- 

 pensamos de transcribir, á causa de su complicación, y porque el estudio 

 de la curva á que corresponde puede efectuarse directamente, y con mayor 

 sencillez, por medio de las ecuaciones de Cauchy, conforme demostramos 

 en un trabajo, publicado, en 1898, en las Mémoires couronnés et autres 

 mémoires, publiés pa?- l'Académie Royale de Belgique, de donde á renglón 

 seguido pasamos á extractar la parte más esencial, ó pertinente al asunto 

 de que ahora se trata. 



318. Resolviendo las ecuaciones (2), relativamente áx é y, obtiénense 

 estos valores: 



a2 ^ / e2_¿2/,-2 ^ ^ _ 9 + ?'M I cfiJl 

 yj a^-h^ ^ ~ 9 V a' - 



que expresan las coordenadas de cualquier punto de la curva, en función 

 del parámetro arbitrario 9. — Los puntos reales de la curva corresponden á 

 los valores reales de 9, comprendidos entre bl- y al-, y entre — bl- y — al.- 

 en términos de que, para cada valor de I-, aquellas ecuaciones determinan 

 una curva algébrica, con dos ramas reales, una de las cuales corresponde 

 á I{= p -\- I- , j la otra á ñ = p — 1-. 



De las mismas ecuaciones (2^ dedícense también las siguientes: 



d^_ 93 + a2i27,9 _ ^ dy ()S^aV/^l-^ ^ 



^' rf9 ~ 



e-2ya2_¿2yíj2_¿,2 7.2 dh (i2ya^_i,-2y/an-"-h^ 



dx V «••^A-2 — 92 



X (9 + ¿2) 



2/ (9 + «2) 



