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Con auxilio de las cuales puédese determinar la figura de las toroides: de- 

 terminación poco antes ya efectuada por sencillo procedimiento, basado en 

 la consideración de la e voluta de la elipse. Mas ahora, apoyándonos en su 

 examen, ahondaremos más en el asunto, procurando hallar los puntos sin- 

 gulares de aquellas curvas, no solamente reales, sino también imaginarios, 

 situados éstos á distancia finita ó infinita. 



319. Empezando por la investigación de los nodos, situados á distan- 

 cia finita, examinaremos los casos siguientes: 



1." I- < a. 



Suponiendo que sea ft = — Jfi, hállase que 



(5) x=±-5-- yb^-l-, í/ = 0, é ij =±——= ^. 



Y como, por hipótesis, A: > a > ¿^ los puntos determinados por las dos 

 primeras ecuaciones, resultan imaginarios. La tercera nos enseña, además, 

 que y' posee dos valores diferentes en cada uno de aquellos puntos, y, 

 por lo tanto, que estos puntos son Jiodos de la curva. 



Supongamos ahora que 9 = — a^,y hallaremos que entonces 



a a^ y 



Fórmulas que determinan parecidamente dos puntos de la curva, situa- 

 dos en el eje de las ordenadas, y en cada uno de los cuales g' posee dos 



valores reales, cuando k < — , y dos también imaginarios, cuando h > — . 



b b 



Por lo tanto, en el primer caso la curva posee dos nodos reales sobre 

 el eje de las ordenadas (que uno con otro coinciden, si k = «); y en el se- 

 gundo dos puntos aislados. 



2.° Sean a>Jc> b. 



Y la curva tendrá entonces cuatro nodos imaginarios , cuyas coordena- 

 das se hallan definidas por los sistemas de ecuaciones (5) y (6). 



3.° Y admitamos finalmente que sea k 



< 



En este caso la curva tiene dos nodos reales, coincidentes uno con otro, 

 cuando k = b, hallándose sus coordenadas definidas por las ecuaciones (5); 



