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 y otros dos imaginarios, por las (6). Los dos nodos reales se reducen á 



¿2 



simples puntos aislados, cuando A- < — . 



a 



De la precedente, muy sencilla, discusión resulta demostrado el siguiente 

 teorema : 



«Cada una de las curvas algébricas, representadas por las ecuaciones (3), 

 posee, á distancia finita, cuatro nodos: dos, de los cuatro, siempre imagi- 

 narios; y otros dos, también itnaginarios , si A- se halla comprendido entre 



a y b; 6 reales los dos, en el supuesto contrario. Cuando sea A' >> — , ó 



A' < — , los dos nodos reales se convierten en puntos aislados.^ 



320. Los valores de 8 en los puntos de retroceso deben satisfacer á 



doc d n 



las ecuaciones ^ O y — —= O, ó á esta otra, en suma: 



63 + a'-^ ¿2 ^2 = 0. 



De donde se concluye que existirán cuatro puntos de retroceso reales 

 cuando la raíz real de esta ecuación se halle comprendida entre — ¿ A- y 



¿2 (¿¿ 



— ak, 6 cuando A' satisfaga á las condiciones — < A" << — ; y, además, 



a b 



otros ocho puntos del mismo nombre, imaginarios. De no verificarse las 

 últimas condiciones, imaginarios serán los doce puntos mencionados. 



Los puntos de retroceso de la curva se pueden asimismo obtener me- 

 diante la ecuación p- = A'^, en la cual, como ya poco más atrás se advir- 

 tió, representa p el radio de curvatura de la elipse. De la última ecuación 

 se desprende, en efecto, esta otra: 



_2_ _S_ _8_ 



a4p2_|_¿4a2=A^ i-' a 3 



correspondiente á tres distintas elipses, real una é imaginarias las otras 

 dos: las cuales, por sus intersecciones con la elipse propuesta, determinan 

 los doce puntos de retroceso de la toroide considerada. 



32 1 . En el precedente estudio para nada se ha tenido en cuenta la 



condición de ser A = 6 k = — . Supliremos la omisión ahora. 



b a 



