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que pueden servir para demostrar las varias propiedades de las toroides, 

 renglones antes deducidas de la consideración de las ecuaciones (3). 



No emprenderemos aqní, sin embargo, por considerarlo innecesario, 

 este nuevo estudio, y nos limitaremos á señalar la utilidad de las ultimas 

 fórmulas para hallar el valor, A, de las áreas y el s de las longitudes de 

 los arcos, de las curvas á que se refieren. 



Para lo cual advirtamos que de aquellas fórmulas se infieren sencilla- 

 mente estas otras, diferenciales suyas: 



_=acos9 + ^—3-, y -^=-bsenrf '— ^; 



a(l— )i2sen2(f.)a a^ (I —l^ seu^ cfP 



y que, en consecuencia, aplicando, por de pronto, la fórmula general 



se deduce esta otra: 



.4=ira6^^ + -^ r Él-^^ka fW I ~ l^ .en^ ^ d<? 



2 L « Jo 1 — ^ sen2 o Jq 



, b^Jc n do 1 



^~r ^ — r • 



Pero 



Jo (l-X^sen^,)^ '' LJo V^l-XW^J 



i = — \ are tangí — cote I . 



, l-A-^seu2« bl2 ^\b 7J 



Luego, finalmente: 



A = — abtf -\- Jc'^ k^ are tang j — cottp j 



^nhl^ eos '^ seno ^ ^^^ f^s/ 1 -l^ sen^ 'f dA 



\/l — X'^sen^cp Jo ' J 



