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 Y de esta fórmula se concluye que el área descrita por el radio vector de 

 un punto de la curva, cuando (f varía desde O hasta — , es 



Jj = i- r a 6 t: + A;a 7t + 4 í;a r V l^->^s¡^ d tf 1 , 



debiendo atribuirse á A' el signo positivo cuando se trate de la rama exte- 

 rior de la curva considerada, y el negativo cuando de la interior. 



El área comprendida entre dos ramas de la toroide tiene, pues, por ex- 

 presión, encontrada por Cauchy {/. c), la siguiente: 



A.-, = 8ka^ \/í — X2 sen2 -^ d<f. 



Jo 



De análogo modo, para determinar la longitud, s, de los arcos de to- 

 roide, representemos por s^ la de los arcos de elipse correspondientes, á 

 que se refiere la expresión 



Y como, además, 



dx ,7.2 / ^? \^ 

 = acos(p +ffoa''co8tf — *— 1 y 



df ' \dxy) 



dy . ,1,2 í df Y 



— 2- = — b sen ti — Acrto-^ senr ' — — ' 



infiérese que 



/ do Y 

 >* I — '-I 

 '\dsj 



U? / .dv \ ds^ ) J 



De donde, por integración, se deduce 



; = s, + kab i ( — ^ 1 do = s, -I- kab I — r- r — 



== Sj — k are tang I — cot ¡p j + C. 



