— 309 — 



6 valores de X é Y, correspondientes á un punto de la podaría, en fun- 

 cidn del parámetro variable 9. 



Cada podaría, según esto, consta de dos ramas reales distintas, corres- 

 pondiente una á la rama exterior, y otra á la interior, de la toroide de que 

 en particular se trata, deduciéndose los puntos reales de la primera rama 

 por la variación de 9 entre bk y ak, y los de la segunda por la variación 

 análoga de 9 entre — bk y — ak; resultando fácilmente definida la forma 

 de la curva por medio de las ecuaciones (7) y de esta otra: 



,„, dT 2 9¿ + fc^ 9 — rt^ k^ \ / 92 _ ¿2 ¿2 



(o) — 



«2 k2 ■t / 92 - 



dX 2 92 + /c^ 9 _ //2 ¿2 y ^2 /.2 _ (j2 



Las dos ramas son simétricas una de otra por referencia á los ejes coor- 

 denados, á los cuales cortan en los puntos {a ± k, 0) y (O, 6 ± k), donde 

 las tangentes á la podarla son además perpendiculares al eje que por ellos 

 pasa. La rama exterior posee cuatro puntos, donde el valor absoluto de 

 la ordenada es máximo, correspondientes á la raix positiva de la ecuación 



292-f A26_a2A2^0, 



cuando esta raíz se halla comprendida entre bk y ak. Y la interior otros 

 cuatro, donde el valor absoluto de la ordenada es también máximo, corres- 

 pondientes á la raíz negativa de la misma ecuación, cuando esta raíz se 

 halla comprendida entre — bk y — ak. 



A los valores de 9, determinados por la ecuación 



292-f A;2 6_¿2y¡.2 = 0, 



puede suceder que no corresponda ningtín punto de la curva, ó que co- 

 rrespondan cuatro, situados en cada rama, donde el valor absoluto de la abs- 

 cisa pasa por un máximo. 



Si k> a, 6 k <cb, el origen de las coordenadas representará un punto 

 cuadruplo aislado. Y, si 6 <; A <; a, un nodo cuadruplo real. Pero, en este 

 caso, solamente dos de las tangentes que pasan por el nodo serán distintas, 



Vg2 /¡a 

 



y presentando entonces la rama interior la forma indicada en la fig. 102. 



