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Reales siempre y desiguales, por pares, si corresponden á las ecuaciones 

 primera, tercera y cuarta; y reales, solamente, las correspondientes á la 

 segunda, cuando 



(k -\- m — m')'^ — 4A;»2 > O, 6 



[tc - (\/m + \/m-f\ [tc-[\I7i- \/m'f\ > 0; 



é imaginarias en el supuesto contrario. 



O, en otros términos, por referencia exclusiva á las raíces de la ecuación 



segunda: reales y desiguales si í- > [y m-\-y m') , <5 ]i-<.\\/m — y m'} -, 

 imaginarios cuando k se encuentra comprendida entre ambos valores; é 



iguales cuando k = ( \m + V '«') , 6 k={\/ m — \m') . 

 333. Fundándose en estos resultados y en las igualdades 



dx r [{kr — am)^ -\- a^ mm'^] 



dr a {kr — ain)^ 



dy _ k^ F' (>•) (kr — fflw) ~'íkF (r) 

 dr 2a 2 {kr — am)'^\JY(^) 

 en las cuales 



F{r) = — {r~ «i) (r — a.^) (r — «3) . . . (r — Vg), 



puédese hallar la forma general de la curva, distinguiendo tres casos para 

 ello. 



1." Supongamos que las raíces a sean todas reales y desiguales, y que 

 «8 > «7 > . . . > »!. 



En este caso y será real y finita cuando r se halle comprendida en los 

 intervalos («g «-), («g a.), (a^^ «g) y (ag aj); é imaginaria en los demás. 



Luego la curva se compondrá entonces de cuatro óvalos, simétricos 

 con relación al eje de las abscisas, al cual cortan normalmente en los pun- 

 tos donde r es igual á cualquiera de las raíces «j, ag, ... ag. 



Para hallar los puntos de estos óvalos , donde las tangentes son parale- 

 las al eje de las abscisas y eje también de la curva, hay que resolver la 

 ecuación de octavo grado, relativamente á r: 



(8) F' (r) {kr — am) — 4:kF{r) = 0. 



