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Dos de los óvalos á que nos referimos tendrán entonces un punto co- 

 mún, situado sobre el eje de las abscisas: necesariamente punto duplo de 

 la curva, cuya abscisa estará representada en cualquier caso por el valor 

 de /• que le corresponda. 



334. Previas las indicaciones que acabamos de exponer, en cualquier 

 caso es factible precisar, con relativa sencillez, la figura de la curva. Y 

 así se comprende que, en su hermosa é importante memoria, poco más 

 atrás mencionada, lograse Cayley determinar, por modo casi intuitivo, 

 y sin detenerse en detalles analíticos, la distribución de los óvalos com- 

 ponentes, por referencia á los focos, y las modificaciones que en su for- 

 ma y disposición experimentan conforme el valor de k varía. Asunto so- 

 bre el cual no insistiremos aquí, limitándonos á recomendar con empeño 

 la lectura de la memoria original, y en grado sumo instructiva, del ilustre 

 geómetra citado. No daremos, sin embargo, por ultimada nuestra tarea 

 sin antes demostrar algunas propiedades de los puntos de intersección de 

 una transversal cualquiera con la curva de que se trata. 



Y, para ello, supongamos que la ecuación de la transversal sea ésta: 



Ax-{-By-\-C = 0. 



Por su combinación con las (3) y (4), ó eliminación entre las tres de las 

 coordenadas x é y, hállase la siguiente, condicional, á que deben sa- 

 tisfacer los valores de r, correspondientes á los ocho puntos de inter- 

 sección: 



A \(a^ -^r2) (l-r— amf—cí^ m'^ r^] + £í-2\/Í>) + 2aC(A->-— rtw)2 = 0; ó 

 £2 ^.i F (r) _ { (tr — amf [2aC +A{a^ + r^) — a^ w"^ r^ } 2 = O ; 



6, finalmente: 



I-'' {A^ + B-) >•« — áam F (A^ + B^) r' 

 -f . . . + «4 m» [B2 a'* + {2aC + Aa^)^] = 0. 



Y de esta ecuación se deduce: 



1.'^ Que la suma de las distancias t\, r.2, . . .,rf^, de los puntos de ínter- 



