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funciones para deducir otras, correspondientes á las curvas: relacionando 

 de esta manera las doctrinas miís elevadas de la Geometría con las supe- 

 riores del Análisis; y abriendo con esto amplio camino de inesperadas in- 

 vestigaciones á la insaciable y fecunda curiosidad de los más ilustres geó- 

 metras de los tiempos presentes. 



S40. Sin remontarse á tanta altura, es de advertir que en el estudio 

 muy variado de las curvas empléanse con frecuencia los llamados métodos 

 de transformación, por medio de los cuales redócense el análisis y deta- 

 llado conocimiento de una curva á los de otra, por algfin concepto más 

 sencilla, y ligada con la primera por las mismas condiciones, analíticas <5 

 geométricas, que sirven para bien definir la transformación. Distinguién- 

 dose entre las muchas y muy variadas transformaciones que pueden em- 

 plearse, por su sencillez y fecundidad, las denominadas lineales ú homo- 

 gráficas, que comprenden la proi/eciira, profundamente estudiada por Pon- 

 CELET y por Chasles; las birracionales de cualquier grado, por Cremo- 

 NA; y las que se efectúan ^ot polares recíprocas, también, por los mismos 

 primeros geómetras mencionados, cuidadosa y muy ampliamente estudia- 

 das y empleadas. Con la advertencia de que, por resultado de las prime- 

 ras, no varían ni el número ni la naturaleza de los puntos singulares de 

 las curvas á que se aplican; y que, por medio de las segundas, conforme 

 Noether demostró, se pueden siempre reducir las curvas en que existen 

 puntos duplos con tangentes coincidentes, á otras que posean puntos, sí, 

 del mismo nombre, pero con tangentes distintas. A todo lo cual hay que 

 agregar todavía que, ni las transformaciones birracionales, ni las de ca- 

 rácter general, limitadas por la condición de que á cada punto de la curva 

 en primer término considerada, solamente corresponda en la transformada 

 otro punto, alteran el género de la curva propuesta, según Riemann con- 

 siguió demostrar. 



341. Suele completar el estudio de las curvas, minuciosamente con- 

 sideradas, el de otras curvas muy notables, que de ellas se derivan y que 

 á ellas se asocian con diversos fines: verdaderas transformadas suyas, 

 por procedimiento bien definido. Como las evolutas y las evolventes, las 

 podarlas, las recíprocas, las paralelas, las concoides, las polares con rela- 

 ción á un punto, y otras muchas, cuyo detenido estudio constituye otros 

 tantos interesantes capítulos de Geometría: mereciendo, entre ellas, espe- 



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