— 300 — 

 IX 



CURVA ISÓCRONA PARACÉNTRICA 



399. En 1689 propuso Leibnitz, en las Acta Eruditorum, pág. 198, 

 el siguiente problema : hallar la airva plana por la cual debe descender 

 un punto grave, para que su distancia á otro punto fijo varíe proporcio- 

 nalmente al tiempo empleado en recorrer ó describir cada arco de curva. 



A la curva que satisface á la condición expresa llamóla el insigne au- 

 tor del anterior enunciado curva isócrona paraccntrica. Y el problema á 

 que se refiere resolvióle, conforme á continuación expondremos, Jacobo 

 Bernoulli, que publicó la solución en el tomo de las mismas Acta, co- 

 rrespondiente al año 1694, págs. 276 y 336 (Opera, t. i, p.' 601 y 608). 



400. Adoptando para origen de las coordenadas el punto fijo dado, y 

 para eje de las ordenadas la vertical que pasa por este punto; si por xéy 



se designan las coordenadas del móvil, la distancia r ^=- y x- -\- y^ entre 

 ambos puntos debe variar, conforme pide el enunciado del problema , pro- 

 porcionalmente al tiempo t. Y, por lo tanto, 



d\x^-\- y^ 1 ( ^ dor ^_ _ dy 



dt ^ ' 



Ya,2 j^y^X dt dt f 



designando por k una constante dada. 



En virtud del descenso ó caída de los graves, se verifica además, según 

 es bien sabido, que 



dl__dx^ + dy^_ 



dt^ dt^ ^ 



si por s se representa la longitud de un arco cualquiera de la curva. 

 Y eliminando dt entre las dos ecuaciones anteriores, resulta esta otra: 



k^ (íc2 + 2/2) [dx^ + dy'^) = 2g (y + h) (xdx + ydyf. 



Supongamos, en particular, que la curva pasa por el punto fijo, consi- 

 derado en su definición, y hallaremos que, cuando sea y = O, será tam- 



