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para los cuales ninguna seria dificultad presentan. Sea como quiera, aque- 

 llas propiedades se demuestran actualmente de la manera más sencilla por 



los procedimientos del 

 Análisis moderno, apo- 

 yándose en la simplicí- 

 sima ecuación de la cur- 

 va, ó en su definición, 

 expresada en coordena- 

 das polares: 



De esta ecuación se 

 deduce, en efecto, inme- 

 diatamente que el punto 

 generador de la curva 

 parte del origen de las 

 coordenadas, tangencial- 

 mente al eje polar, y des- 

 cribe luego un número 

 infinito de vueltas ó re- 

 voluciones en derredor 

 de aquel punto de partida, alejándose de él constantemente (fig. 114), en 

 un sentido ó en otro, según el sentido inicial del movimiento. 



404. La subnormal, S,,; la subtangente, S,; la longitud de la nor- 

 mal, N; y el ángulo, V, de la tangente á la curva con el radio vector del 

 punto de contacto, se hallan expresos por estas fórmulas: 



..=i=».- s. 



p2d6 



tangF 



<¿p 



_ prf9 __p 

 ~ dp ~ o 



pB; N=\a^ + ?^; y 



De las cuales, la primera y la última permiten fácilmente construir las 

 normales y las tangentes á la espiral considerada. Y la segunda muestra 

 que la subtangente OT es igual á la longitud del arco, MA^ M^, de la cir- 



