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cunferencia, descrita desde el polo O, con el radio OM, igual á p. Rela- 

 ción muy curiosa, entre el problema de la rectificación de la circunÍCTen- 

 cia y el de la determinación de la tangente á la espiral, hallada por Ar- 

 QüÍMEDES, y primero ó más antiguo ejemplo conocido de la determinación 

 de la tangente á una curva por medio de la subtangente. 



405. El radio de curvatura de la espiral de Arquímedes tiene por 

 expresión 



R. 



p2 + 2a2 ~ N^-\-a^ 



de la cual se concluye una sencilla construcción del centro de curvatura. 

 406. El íírea A, recorrida por el radio vector de la espiral conside- 

 rada, cuando 9 varía desde 9f) hasta 9j, se determina de este modo: 



O 6a 



Y comparando el valor de A con los de las áreas de los sectores circu- 

 lares, que abarcan el mismo ángulo 6^ — 9^ y corresponden á los radios 

 pj y Pi3, determinados por las fórmulas 



^1 = T- Pi^ (Pi — Po) y ^o = l^PoMpi — Po). 

 ¿a 2a 



hállanse las siguientes igualdades, obtenidas por Arquímedes: 



A _ p,3_p^3 _ P»P0 + Í(PI-P0)^ 



A 3p,MPi-Po) p,2 ' ^ 



A.-A Po + 2p, . P° + f(P^-Po^ 

 ^~'' ^^ + '^« Po+j(P.-Po)' 



De la fórmula (A) dedúcese además, poniendo 9^=2 («— 1) 7t y 9j=2/í k, 



