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y representando por ^("' el valor del área recorrida por el radio vector, 

 cuando éste describe la espira 6 vuelta de orden ?i, la igualdad 



^C) = — 7:3 a2 (3n2 — 3« + 1), 



ó 



de la cual resultan varias relaciones interesantes, señaladas también por 

 Arquímedes, entre las cuales recordaremos las siguientes: 



A'^^l = — n^a^; ^(2) — ^(i' = 8n3a2; A^"^ — Á^«-^^ = 8{n—l) n^a^; 

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^a) = 1 (^(2)_ ^(1)). j^n) _ ^;«-i) = (,i _ 1) (^c^)— 4('0; etc. 

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El procedimiento de Arquímedes para determinar el valor de A fué 

 verdaderamente notable, y constituye uno de los primeros ejemplos cono- 

 cidos del método de los indivisibles y del infÍ7iitesÍ7nal. Como en los mé- 

 todos así denominados, Arquímedes consideró, en efecto, el área A como 

 una suma de sectores circulares, en número creciente indefinido, y esto 

 bastó para, en cierto modo, revelarle el resultado que buscaba, utilizando 

 luego para demostrar su legitimidad el procedimiento clásico de exkaución, 

 empleado siempre por los antiguos geómetras para la resolución de cues- 

 tiones de este género, y referente al cual puede consultar el lector con pro- 

 vecho la excelente obra de Zeuthen, titulada Geschichte der Mathernatik 

 in Altertum und Mittelarter (1896, p. 166-183), donde también encon- 

 trará, expuesto en la forma usual ahora, el método original de que se valió 

 el mismo Arquímedes para calcular el valor de A. 



407. La longitud, s, del arco de la espiral de Arquímedes, compren- 

 dido entre los puntos (p^, 9^) y (pj ,9i), se halla expresada por la fórmula 



=rv^'^-"-c^^^-'- 



Y como la longitud del arco de la parábola, y'^ = 2px, comprendido en- 

 tre los puntos (Xq, y^) y (x^, y^), lo está por la siguiente 





+ y^ dy> 



