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Á la clasificación de las cuárticas por medio de sus puntos singulares, 

 á que acabamos de aludir, menester es que preceda un estudio profundo 

 de estos puntos. Comenzando por advertir que, en el caso de las cuárticas, 

 hay que tener en cuenta no solamente los pantos singulares, ya estudiados 

 al tratar de las ctibicas, sino los de contacto de las tangentes dobles: á 

 todos los cuales se aplica el nombre de puntos sÍ7igulares ordinarios ; y, 

 ademíís, otros puntos singulares de orden más elevado. La enumeración de 

 estos nuevos puntos y determinación de la equivalencia de cada uno de 

 ellos con un cierto número de puntos ordinarios son cuestiones previas, 

 de resolución indispensable para proceder á la clasificación de las cuárti- 

 cas, estudiadas con admirable perspicacia por Cayley en diversos traba- 

 jos, insertos en el tomo v de los Mathematical Papers. 



Entre los problemas previos auxiliares, de mayor eficacia para penetrar 

 luego con desembarazo en el estudio de las cuárticas, han preocupado, ade- 

 más, preferentemente la atención de ilustres geómetras el de la distribución 

 en estas curvas de los puntos de inflexión , y el de la determinación del 

 número de puntos reales de este nombre. Problema, el primero, sin so- 

 lución satisfactoria hasta ahora, cuando las cuárticas carecen de puntos 

 duplos; mas no tanto en el supuesto contrario, conforme dejnostró Brill 

 en diversas publicaciones interesantes, insertas en los Mathematische 

 Animlen (tomo xii, p. 90; y xiii, /;.' 103, 175 y 517). Así como en el 

 análisis del segundo logró Zeüthen deducir (1. c.) que las curvas de cuar- 

 to orden, sin puntos duplos, poseen ocJio de inflexión reales. 



A todo lo cual añadiremos, en conclusión, que quien desee profundizar, 

 con relativa facilidad, en la mai-eria de que tratamos, comenzando por en- 

 terarse de los trabajos en ella efectuados, y expuestos en orden y estilo 

 didáctico, debe dedicarse seriamente al estudio de la obra magistral de 

 Salmón, Higher plañe Curves, tantas veces por nosotros ya citada, con 

 merecido elogio siempre, y en la cual hallará el lector condensada la doc- 

 trina general y fundamental de las cuárticas, en muy meditado y substan- 

 cioso capítulo. 



