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R = — y'^ 



De manera que en el punto A, donde y es mínima é igual á e, también R 

 posee un valor mínimo, é igual á esta misma cantidad c: 6 resulta máxima 

 la curvatura de la catenaria. 



356. Representando por s lá longitud del arco ^7? de la curva, há- 

 llase que 



rv 



1 + — je^+e"^ — 2jrf.x> = — íe^ — r^l 

 = Vf — c^=QT= BM. 



Igualdad de la cual se desprende una consecuencia importante, con auxi- 

 lio de los teoremas de Huygens, relativos á la teoría de las evolutas. 



En efecto: el lugar geométrico descrito por el punto, M, de intersección 

 de la recta Bilf con la TS, es una evolvente de la catenaria considerada; y, 

 debiendo ser la tangente á ésta perpendicular á BM, deberá ser también 

 paralela, á OT; y, por lo tanto, MU= TO. Luego la evolvente de la cate- 

 7iaria, engendrada por M, es una curva, tal que los segmentos de las tan- 

 gentes, comprendidos entre los puntos de contacto y una recta fija, son 

 constantes. 



Por consideraciones geométricas sencillas se vería asimismo que las de- 

 más evolventes de la catenaria gozan todas de la misma propiedad. 



Las curvas que la poseen se llaman tractrices, y serán poco más ade- 

 lante especialmente estudiadas. 



357. Designando por A el área BPOA, sencillamente se encuen- 

 tra que 



p_r.)^.^.Vy' 



lo cual demuestra que A varía proporcionalmente al arco AB = s. 



358. La curva plana que pasa por dos puntos dados y engendra una 

 área mínima, cuando gira en rededor de un eje situado en su mismo plano, 

 es una catenaria. 



