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 Poniendo en las fórmulas anteriores n = 0, concluyese que solamente 



existirán puntos dobles cuando sea \ / — > — =:-. 



V ¿ V2 



Pero, además de los puntos duplos que acabamos de determinar, la 

 curva posee los puntos existentes en la rama de la curva que corresponde 

 á los valores negativos de O, simétricos de los anteriores relativamente al 

 eje Ox, y los colocados sobre este eje, en que las dos ramas de la curva 

 se cortan. 



413. El área descrita por el radio vector, cuando 9 varía desde O 

 hasta 6, se halla definida por la fórmula 



414. Y la rectificación de la curva se obtiene con auxilio de las inte- 

 grales elípticas de 1.' y de 2." especie, conforme ahora pasamos á de- 

 mostrar. 



Por de pronto 



ds = yjb'^ 94 + 2 (2¿2 — ab) 62 -f a2 . dH- 



6, poniendo ^^^ x^ 



1 b^x^ 4-2 {2b^ — ab)x 4- a^ , 

 ds = ^ dx. 



2 \/x [¿a %2 ^ 2 (2 ¿2 - ab) x + a^] 

 Pues poniendo ahora 



^2 [¿a x,^^2 (2¿2 — ab)x-\- a^] = F{x}, 



se hallará que 



6 \/F{x) 



1 [F' (x) + 2 (2¿2 — ab)x-\- 2a^\ dx 



y, por lo tanto, 

 ds 



= — dF(x) 4-- ' dx . 



3L V^(^) J 



