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418. El área descrita por el radio vector, cuando 9 varía desde Qg 

 hasta 9,, queda determinada por la fórmala 



^ = iPp-^d8 = ^{V-6o^). 

 2 A 4 



De la cual, poniendo 9q = O, 2Tt, in,... y ^^ = ^^-\-2tz, se deducen 

 para valores de las áreas A^, A^, A^,..., correspondientes á una, dos, etc., 

 revoluciones del citado radio, estas otras: 



Al = a^ K^, A^ = Sa^ v?, A^ = ^a^ v?,... 



Por ser OD ^ a y 2it, el área A^ resulta igual á la mitad del área del 

 círculo de radio OD. 



Y por ser constante, é igual á 2a^Tt^, la diferencia de dos números su- 

 cesivos de la serie A^, A^, Ar^,..., vese que el aumento del área en cada 

 revolución es igual al área del círculo del mismo radio. 



Proposiciones ambas demostradas por Fermat en la carta á que renglo- 

 nes antes se hizo referencia. 



419. La longitud del arco de la curva, comprendido entre el punto 

 O y el (9,p) tiene por expresión 



Jo \ UU Jo 2V/9(4e2+l) 



resoluble en las integrales elípticas 



r 92^9 n ¿9 



J V'O (492 + 1) J V^9(4 6a_|_i)' 



La primera de estas integrales es susceptible de reducción, pues inte- 

 grándola por partes se halla, en efecto, por de pronto 



J \/íj(492 + l) «L J V9(4 92-|-i) J 



