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minación es menester encontrar dos valores de B, que difieran entre sí en 

 (2w -|- 1)71, siendo n número entero y positivo, y á los cuales correspon- 

 dan valores de p iguales y de signo contrario. En estos puntos debe, pues, 

 verificarse que 



2 = a-\-yJ 2im^, y — ^ = a — 'yj 2pa[^ -\- {2n -\-\)-k\; 



p = a — '\/2j5a9, y — p = a — Vs jía [9 -f (2 »i + 1) ti], 



según que el punto duplo proceda de la intersección, una con otra, de 

 ambas ramas, 6 de cortarse una de estas ramas á sí misma. En ambos ca- 

 sos, por eliminación de p, se obtiene este resultado: 



{ 4 a2 — 2 pa [2 6 -f (2 M + 1) tt] } 2 = 16 p2 ^2 9 [9 ^ (2 „ _^ i) „]; 



y, por lo tanto, 



^_ [2a-p{2n + l)^f _ 

 8 ap 



Fórmula en la cual n representa cualquier número entero positivo, y que 

 sirve para determinar los valores de 9 á que corresponden puntos duplos 

 de la curva. 



423. Para determinar los puntos de inflexión de la espiral conside- 

 rada, recurriremos á la fórmula general 



p2 — p — ^ 



di 



^m-- 



que, aplicada al caso de que ahora se trata, se transforma en la que sigue: 



p2 ( p — a)3 + 2 p^ «2 ( p _ a) ^ pa «2 p = 0. 



De esta ecuación, combinada con la de la curva, se deducirán los valo- 

 res de p y 6, correspondientes á los puntos de inflexión buscados, entre 

 los cuales muestran las mismas ecuaciones que ha de poseer la curva uno 

 real, por lo menos. Y también de su atenta consideración se infiere que los 



