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curvatura, y que, además, muestra que la curva carece de pimtos de in- 

 flexión. 



429. El área descrita por el radio vector, cuando éste se mueve desde 

 la posición correspondiente al ángulo ()q, hasta la correspondiente al 9^, se 

 determina por la fórmula 



2j8„ 2 



(Po — Pi). 



y es igual al área de un triángulo de construcción muy sencilla. 



430. Y por esta otra la longitud del arco de la curva, comprendido 

 entre los puntos (Po, 9o) 7 (pi, 9i): 



« = P yp' ^ + I • '¿P = J' Vm«í'^ + pVrfp 



2 v/pi^ + m« + 



kSTT^+^iog-^ 



L 2 V/Pn^ + 



m 



2 \/p„2 + ^a + 



m 



O 



«= T,- To + ^log Í^:í^^1ÍZ^±^: 

 "^ 2 ^ (Ti + m)(7o-m) 



representando por Tq y T^ las longitudes de las tangentes á la curva en 

 los puntos considerados. 



43 1 . Entre los resultados que acabamos de obtener, referentes á la 

 espiral hiperbólica , y los obtenidos en los Núms. 347 á 350, al tratar de 

 la curva logarítmica, adviértense algunas analogías y relaciones en las 

 cuales conviene insistir un momento. 



Si consideramos un punto de la espiral hiperbólica y otro de la logarít- 

 mica (Núm. 345), tales que la ordenada cartesiana de éste sea igual al ra- 

 dio vector de aquél, las lotigitudes de la subtangente, de la subnormal, de 

 la tangente, y de la normal en ambas curvas, correspondientes á los dos 

 mencionados puntos, son iguales. Y si consideramos además dos puntos de 



