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La tercera y cuarta que /? < — p y /* > — a. 



Y las dos últimas que h = — p 6 h= — a. 



Luego los puntos (a;^, ± y y) serán puntos duplos reales de la curva 

 cuando h sea negativa y su valor absolido se halle comprendido entre p 

 y a; 6 igual, en absoluto también, á una ú otra de estas dos cantidades. 



La existencia de estos puntos duplos reales admite fácil explicación 

 geométrica. 



Cuando, en efecto, h sea negativa y su valor absoluto se halle compren- 

 dido entre a — c y a-\-c, 6 entre FA y FB, existen dos vectores de la 

 elipse, FP y FQ (fig. 76), de longitudes iguales á la de h. Luego el foco F 



{h = AK=BH>FA y <FB). 



Fignra TB. 



es un punto de la concoide, correspondiente á los puntos P y ^ de la elipse. 

 Y del mismo modo, cuando el valor absoluto de h esté comprendido entre 

 p y a, 6 FR y AO (fig. 77), existen dos cuerdas iguales de la elipse, SS^ 

 y UUi, que pasan por el foco, y cuyo valor es igual al doble del valor ab- 

 soluto de h, y los puntos medios M y M^ en la misma figura de estas cuer- 

 das corresponden, en consecuencia, según el modo de construcción de la 

 concoide, á los dos extremos de las mismas cuerdas, y constituyen así 

 otros dos puntos duplos. 



257. De lo que precede, y teniendo siempre en cuenta el modo de 

 construir, con arreglo á su definición, la curva de que se trata, resulta que 

 ésta admite varias formas. 



