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412. Para determinar los puntos duplos, existentes en la rama de 

 la curva, dependiente de los valores positivos de 9, basta atender á que 

 estos puntos deben evidentemente corresponder á dos valores de 8, sepa- 

 rados uno de otro por el arco (2w -|- 1) ir, representando por n un número 

 entero y positivo, y además á dos valores de p, iguales y de signo contra- 

 rio, conforme indican estas expresiones: 



p = a_6e2 y — p = a — 6[9 + (2« + l)itf. 



De las cuales, por eliminación de p y resolución de la ecuación del segun- 

 do grado resultante, se deduce que ha de ser 



, q _ — (2w -|- 1) 7i¿) jr V4a& — b^ -rt^ (2?^ + 1)^ 



b 



Ecuación ésta que puede dar para 9 valores imaginarios, negativos y po- 

 sitivos. A los imaginarios no corresponden puntos de la curva; y á los ne- 

 gativos tampoco corresponde ninguno de la rama considerada: basta, pues, 

 considerar los valores positivos de 0. 



Para que 9 sea real, es necesario que se verifique la condición 



4a>¿>7t2(2M + l)2; 



y para que sea positivo necesítase además que resulte satisfecha esta otra 

 condición 



\/4ab~b^n^i2n-{-iy^ >(2w -f 1) u¿, 



2a>6it2(2^j-j_l)a. 



La condición única para que el valor de 9 sea real y positivo se reduce, 

 pues, á la siguiente: 



2a>¿)7:2(2n+l)2: 



de la cual se desprenderán los valores de n á que corresponden los de 9, 

 dados por la igualdad (1), pertenecientes á los puntos duplos buscados. 



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