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gitud de sus arcos, y extensión de las áreas de la misma curva, entre de- 

 terminados límites, trató JuAX Bebnoulli en sus Lectiones Calculi inte- 

 gralis (Opera omnia, i. ni, p. 446). Y, muy recientemente, el geómetra 

 italiano Pirondini ha vuelto á discurrir sobre la misma materia, amplián- 

 dola con nuevas y muy interesantes investigaciones, en el Periódico di 

 Matemática (Lirorno, \. xii, p. 112, 1897). 



V 



EPICICLOIDES É HIPOCICLOIDES CONTRAÍDAS Y DILATADAS 



552. Sábese ya que, cuando una circunferencia móril rueda sin res- 

 balar, ó de un modo continuo, sobre otra fija, tangente á éáta exterior- 

 mente, cualquiera de sus puntos engendra otra curva, llamada epicicloide 

 (Núm. 510). Pero si el punto generador corresponde, no precisamente á la 

 circunferencia primera, sino á la región de su plano, interior ó exterior á 

 ella, supuesta mó/il también, con igual y simultáneo movimiento, la curva 

 resultante, epicicloide asimismo, será epicicloide contraída, en un caso, y 

 dilatada, en otro. Y, por referencia á la hipocicloide (Núm. 525), ó curva, 

 engendrada por un punto de una circunferencia móvil, que rueda interior- 

 mente á otra fija, 6 directriz, podrá decirse, análogamente, que serán Itipo- 

 cicloides contraídas las procedentes de los puntos del plano de la circunfe- 

 rencia móvil, interiores á ella; y dilatadas las generadas por los exteriores. 



Representando por R el radio de la circunferencia fija; por r el de la 

 móvil; por a la distancia del punto generador de la curva al centro de la 

 primera; y por a el ángulo que forma la recta que une los centros de am- 

 bas circunferencias con el eje de las abscisa?, por procedimiento análogo 

 al expuesto en el caso de las epicicloides ordinarias (Núm. 51(>), conclu- 

 yese que las epicicloides contraídas y dilatadas tienen por ecuaciones las 

 siguientes: 



iry I \ R + r ,7j , V R + r 

 a! = (i? + r)cosa — a eos a é y = [R -\- r) seay. — asen — a, 



/• r 



553. Las curvas á que estas ecuaciones se refieren compónense de se- 

 ries de arcos iguales, en námero finito ó infinito, según que — sea racio- 



