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448. El ángulo F, formado por la tangente á la curva con el radio 

 vector del punto de contacto, se determina por la fórmula 



tang F ^ 



,„p (e™» — e-™®) 



según la cual la tangente á la curva en el punto A es perpendicular á OA. 

 Representando por N\a longitud de la normal polar, hállase que 



^ '/" ' „2\ „2 ™2n2. 



a 



nf) a^ — w p"" 



fórmula adecuada para construir las normales á la curva. 



449 . El radio de curvatura de la espiral de PomsoT puede calcular- 

 se por esta otra fórmula: 



De la cual se concluye que la curva carece de punios de inflexión. 



En el punto A, la expresión del radio de curvatura se reduce á la que 

 sigue : 



a 



R: 



m^ -)- 1 



450. Para hallar el área recorrida por el radio vector de la espiral 

 considerada, cuando & varía desde O hasta H, sirve esta otra fórmula: 



A = 2a^^ r '^ = — í- ^— I 



Jo ^e'«0_^g-™e,2 2>n 12 e^'-O + lJ 



451. Y para determinar la longitud s del arco de la misma espiral, 

 comprendido entre el punto ^ y el punto (9, p), comenzaremos por escribir 

 la expresión, fácil de encontrar. 



í 



O 2adH r 5 



V(l + w2) (e^'"^ + e-"^"'®) + 2(1— ^2). 



(e'^' + e-'"^) 



m0^2 



1 



