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vese, en primer lugar, que las dos ramas de la curva son tangentes al eje 

 Ox en A, donde en consecuencia la curva posee un punto de retroceso. 



Y, por medio de la misma ecuación, vese también que los puntos donde 

 y pasa por un valor máximo ó por uno mínimo se hallan definidos por la 

 expresión 



tang9 = ^ 



P 



Y como poniendo o; ^ p eos 9 é ?/ = p sea O se halla la ecuación 



x^ -\- y'^ ± ax -^ Q , 



que representa dos círculos iguales, cuyos centros están en el eje Ox, á la 



distancia — a del polo O, resulta que los puntos de la curva donde y pasa 



por un máxwio ó por un tjiínimo corresponden á las circunferencias de 

 los círculos á que acabamos de referirnos. 



Y del mismo modo se concluye que los puntos donde x pasa por un má- 

 ximo ó por un mínimo se hallan situados sobre las circunferencias 



x^ -\- y^ ± ay = 0. 



Propiedades que no hemos encontrado mencionadas por autor alguno, 

 ni en las cuales sabemos tampoco si antes de ahora ha reparado nadie. 

 455. El radio de curvatura de la espiral traetrix tiene por expresión 



R. 



ap\/ 



2 „2 



p V « — p 



a2 — 2,o2 • 



según la cual la curva posee dos puntos de inflexión, cuyas coordenadas 

 son (RouqüEL: 1. c.) 



Representando por a el ángulo de la normal en un punto cualquiera con 

 el radio vector del mismo punto, dedúcese que 



\/a2 - f ^ ? 



cota = !— , ó sena = — . 



p a 



