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 «2 s'^ ,, cfi 



X — a = eos -f-TT , y u — 3 = — sen 



s 2a^ ' ■' -^ "^ s 2a^' 



ecuaciones éstas que determinan las coordenadas a y ¡3 de los puntos de 

 la evoluta en función de s. 



471. Ijas propiedades más interesantes de la clotoide son las refe- 

 rentes Á los centros de gravedad de sus arcos, descubiertas por Cesaro 

 (Noiivelles Anuales des Mathcmaliques , .3." serie, t. v, 18S6, jj. 511; y 

 Lezioni di Oeometria intrínseca, §. Vf). Mereciendo, entre ellas, espe- 

 cialmente mencionarse las siguientes: 



1.° Sean Sq y s^ los valores de s, d contar del origen de las coordena- 

 das, hasta las extremidades de un arco de la clotoide; (Xq, y^) y (x^^,y¡) las 

 coordenadas de estos puntos extremos; y (X, Y) las del centro de grave- 

 dad del arco. Y, siguiendo á PoissoN (Traite de Mécanique, t. i, 1883, 

 j). 121), hallaremos que 



ds I sen ds 



í„ Jo 2o2 



= .s-| I sen as — ■«„ I sen ds — I s sen ds 



X 2a2 °j„ -¿a^ Js, 2á^ 



= s, I sen -ds — s„ I sen as + ft- I eos — eos — - — 1; 



Jo 2a2 °J„ 2 «2 ^ \^ 2 «2 2 «2/ 



y, del mismo modo, 



ds I eos ds 



'., 1 2«2 



= s, I eos ds — .«ni eos ds — o- sen — sen — - — I. 



Jo 2a2 - 'X 2a^ I ¿a^ 2a^ j 



Por lo tanto, representando por (a^, [Íq) y (y.^, [i^) las coordenadas de los 

 centros de curvatura en las extremidades del arco considerado, podemos 

 escribir 



(«1 - s^) X = s^ a, — Sq -/£, y (.«j — s^) Y= Sj pi — ,«0 p^. 



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